04 Fiche Méthode Conversion entre les bases
1. Conversion de la base 10 vers une base \( b \)
⚓︎
Étapes :⚓︎
1 Choisir la base de destination (\( b \)) :⚓︎
Exemples :
-
\( b = 2 \) (binaire),
-
\( b = 16 \) (hexadécimal),
-
\( b = 5 \)
-
\( b = 7 \)
-
etc.
2 Diviser le nombre en base 10 par \( b \) :⚓︎
Divisez le nombre entier par \( b \) et notez le reste (c'est le chiffre dans la base \( b \)).
Exemple : Si on veut convertir 127 en base 5 cela donne
3 Répéter la division :⚓︎
-
Prenez le quotient obtenu et divisez-le à nouveau par \( b \).
-
Continuez jusqu’à ce que le quotient soit égal à 0.
4 Lire le résultat :⚓︎
Les restes, lus de bas en haut, donnent le nombre dans la base \( b \).
Exemples :⚓︎
Conversion de \( 44_{10} \) en base \( 2 \) (binaire) :
-
\( 44 \div 2 = 22 \), reste \( 0 \)
-
\( 22 \div 2 = 11 \), reste \( 0 \)
-
\( 11 \div 2 = 5 \), reste \( 1 \)
-
\( 5 \div 2 = 2 \), reste \( 1 \)
-
\( 2 \div 2 = 1 \), reste \( 0 \)
-
\( 1 \div 2 = 0 \), reste \( 1 \)
Résultat : \( 44_{10} = 101100_2 \)
Conversion de \( 254_{10} \) en base \( 16 \) (hexadécimal) :
-
\( 254 \div 16 = 15 \), reste \( 14 \) (\( E \) en hexadécimal)
-
\( 15 \div 16 = 0 \), reste \( 15 \) (\( F \) en hexadécimal)
Résultat : \( 254_{10} = FE_{16} \)
Conversion de \( 77_{10} \) en base \( 5 \) :
-
\( 77 \div 5 = 15 \), reste \( 2 \)
-
\( 15 \div 5 = 3 \), reste \( 0 \)
-
\( 3 \div 5 = 0 \), reste \( 3 \)
Résultat : \( 77_{10} = 302_5 \)
2. Conversion d’une base \( b \) vers la base 10
⚓︎
Méthode avec tableau :⚓︎
1 Dessiner un tableau avec les puissances de la base \( b \) :⚓︎
- Chaque colonne correspond à une puissance de la base \( b \), en commençant par \( b^0 \) (de droite à gauche).
2 Écrire les chiffres du nombre dans le tableau :⚓︎
- Placez chaque chiffre (en base \( b \)) dans une colonne.
3 Calculer les contributions de chaque chiffre :⚓︎
- Multipliez chaque chiffre par la puissance correspondante de \( b \).
4 Additionner les résultats :⚓︎
- La somme des contributions donne le nombre en base 10.
Exemples :⚓︎
- Conversion de \( 101101_2 \) en base \( 10 \) :
| Puissances de \( 2 \) | \( 2^5 \) | \( 2^4 \) | \( 2^3 \) | \( 2^2 \) | \( 2^1 \) | \( 2^0 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Chiffres | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| Contributions | \( 32 \) | \( 0 \) | \( 8 \) | \( 4 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
Résultat : \( 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45_{10} \)
- Conversion de \( FE_{16} \) en base \( 10 \) :
| Puissances de \( 16 \) | \( 16^1 \) | \( 16^0 \) |
|---|---|---|
| Chiffres | \( F (15) \) | \( E (14) \) |
| Contributions | \( 15 * 16 = 240 \) | \( 14 * 1 = 14 \) |
Résultat : \( 240 + 14 = 254_{10} \)
- Conversion de \( 303_5 \) en base \( 10 \) :
| Puissances de \( 5 \) | \( 5^2 \) | \( 5^1 \) | \( 5^0 \) |
|---|---|---|---|
| Chiffres | \( 3 \) | \( 0 \) | \( 3 \) |
| Contributions | \( 3 * 25 = 75 \) | \( 0 * 5 = 0 \) | \( 3 * 1 = 3 \) |
Résultat : \( 75 + 0 + 3 = 78_{10} \)
3. Conversion binaire <=> hexadécimal
⚓︎
Règle pratique :⚓︎
-
Groupes de 4 bits : Chaque chiffre hexadécimal correspond à 4 bits en binaire.
-
Conversion directe entre les deux bases sans passer par la base 10.
Exemples :⚓︎
Conversion de \( 101101_2 \) en hexadécimal :
-
Groupes de 4 bits (ajouter des zéros à gauche si nécessaire) : \( 101101 \rightarrow 0010\ 1101 \).
-
Convertir chaque groupe :
- \( 0010 = 2 \),
- \( 1101 = D \).
Résultat : \( 101101_2 = 2D_{16} \)
Conversion de \( 3E_{16} \) en binaire :
-
Convertir chaque chiffre hexadécimal en 4 bits :
- \( 3 = 0011 \),
- \( E = 1110 \).
Résultat : \( 3E_{16} = 0011\ 1110_2 \)
4. Addition en binaire
⚓︎
Règles :⚓︎
1 Addition chiffre par chiffre de droite à gauche :⚓︎
-
\( 0 + 0 = 0 \)
-
\( 0 + 1 = 1 \)
-
\( 1 + 0 = 1 \)
-
\( 1 + 1 = 10 \) (soit \( 0 \) et une retenue de \( 1 \))
-
\( 1 + 1 + 1 = 11 \) (soit \( 1 \) et une retenue de \( 1 \))
2 Appliquer les retenues :⚓︎
- Ajouter la retenue au chiffre suivant.
Exemple 1 : \( 1011_2 + 1101_2 \)⚓︎
1 Écrire les nombres alignés sur la droite :⚓︎
1011
+ 1101
2 Additionner colonne par colonne, en appliquant les règles :⚓︎
-
\( 1 + 1 = 10 \), on écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \).
-
\( 1 + 0 + 1 (\text{retenue}) = 10 \), on écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \).
-
\( 0 + 1 + 1 (\text{retenue}) = 10 \), on écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \).
-
\( 1 + 1 + 1 (\text{retenue}) = 11 \), on écrit \( 1 \) et on retient \( 1 \).
On place la retenue restante \( 1 \) à gauche.
Résultat : \( 1011_2 + 1101_2 = 11000_2 \)
Exemple 2 : \( 11101_2 + 1011_2 \)⚓︎
1 Écrire les nombres alignés sur la droite :⚓︎
11101
+ 01011
2 Effectuer l’addition (avec retenues) :⚓︎
-
\( 1 + 1 = 10 \), on écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \).
-
\( 0 + 1 + 1 (\text{retenue}) = 10 \), on écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \).
-
\( 1 + 0 + 1 (\text{retenue}) = 10 \), on écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \).
-
\( 1 + 1 + 1 (\text{retenue}) = 11 \), on écrit \( 1 \) et on retient \( 1 \).
-
\( 1 + 0 + 1 (\text{retenue}) = 10 \), on écrit \( 0 \) et on retient \( 1 \).
Résultat : \( 11101_2 + 1011_2 = 10\ 1000_2 \)
5. Addition en hexadécimal
⚓︎
Règles :⚓︎
1 Additionner chiffre par chiffre de droite à gauche :⚓︎
-
Si la somme est inférieure à \( 16 \), écrivez directement le résultat.
-
Si la somme est \( \geq 16 \), convertissez-la en hexadécimal et placez une retenue.
2 Utiliser les correspondances hexadécimales pour les chiffres \( A = 10 \), \( B = 11 \), etc.⚓︎
3 Ajouter les retenues comme en base 10.⚓︎
Exemple 1 : \( 1F_{16} + E_{16} \)⚓︎
1 Écrire les nombres alignés :⚓︎
1F
+ E
2 Additionner les chiffres de droite à gauche :⚓︎
-
\( F (15) + E (14) = 29 \), soit \( 1D \) (retenue \( 1 \), écrire \( D \)).
-
\( 1 + 1 (\text{retenue}) = 2 \).
Résultat : \( 1F_{16} + E_{16} = 2D_{16} \)
Exemple 2 : \( 3B_{16} + 27_{16} \)⚓︎
1 Écrire les nombres alignés :⚓︎
3B
+ 27
2 Additionner les chiffres de droite à gauche :⚓︎
-
\( B (11) + 7 = 18 \), soit \( 12 \) en hexadécimal (retenue \( 1 \), écrire \( 2 \)).
-
\( 3 + 2 + 1 (\text{retenue}) = 6 \).
Résultat : \( 3B_{16} + 27_{16} = 62_{16} \)
6. Représentation des nombres binaires signés
⚓︎
-
Bit de poids fort (MSB) :
-
\( 0 \) → Nombre positif.
-
\( 1 \) → Nombre négatif (en complément à 2).
-
Pour un nombre signé sur 8 bits, la plage des valeurs est : [ -128 à 127 ]
Exemple :
-
\( 01111111_2 = 127 \) (plus grand nombre positif),
-
\( 10000000_2 = -128 \) (plus petit nombre négatif).
7. Conversion de binaire signé vers décimal
⚓︎
Étapes : Vérifiez le bit de poids fort :⚓︎
- Si le bit de poids fort est \( 0 \), le nombre est positif. Convertissez directement en base 10 comme vu précédemment.
- Si le bit de poids fort est \( 1 \), le nombre est négatif :
- Complément à 1 : Inversez tous les bits.
- Complément à 2 : Ajoutez \( 1 \).
- Convertissez en décimal
- Ajoutez le signe \( - \).
Exemples :⚓︎
\( 00000101_2 \) :
-
MSB = \( 0 \) → nombre positif.
-
\( 00000101_2 = 5_{10} \).
\( 11111011_2 \) :
-
MSB = \( 1 \) → nombre négatif.
-
Complément à 1 : \( 11111011 \rightarrow 00000100 \).
-
Ajouter \( 1 \) : \( 00000100 + 1 = 00000101 \).
Résultat : \( -5_{10} \).
\( 10000001_2 \) :
-
MSB = \( 1 \) → nombre négatif.
-
Complément à 1 : \( 10000001 \rightarrow 01111110 \).
-
Ajouter \( 1 \) : \( 01111110 + 1 = 01111111 \).
- \( 01111111_2 = 127_{10} \).
Résultat : \( -127_{10} \).
\( 01111111_2 \) :
-
MSB = \( 0 \) → nombre positif.
-
\( 01111111_2 = 127_{10} \).
8. Conversion de décimal vers binaire signé
⚓︎
Étapes :⚓︎
1 Si le nombre est positif, convertissez directement en binaire avec \( n \) bits comme vu précédemment.⚓︎
2 Si le nombre est négatif :⚓︎
-
Prenez la valeur absolue (la valeur positive) et convertissez-la en binaire sur \( n \) bits.
-
Complément à 1 : Inversez tous les bits.
-
Complément à 2 : Ajoutez \( 1 \).
Exemples :⚓︎
\( 5_{10} \):
- \( 5 \) en binaire : \( 00000101 \).
Résultat : \( 00000101_2 \).
\(-5_{10}\) :
-
Valeur absolue : \( 5 \) en binaire → \( 00000101 \).
-
Complément à 1 : \( 00000101 \rightarrow 11111010 \).
-
Ajouter \( 1 \) : \( 11111010 + 1 = 11111011 \).
Résultat : \( 11111011_2 \).
\(-127_{10}\) :
-
Valeur absolue : \( 127 \) en binaire → \( 01111111 \).
-
Complément à 1 : \( 01111111 \rightarrow 10000000 \).
-
Ajouter \( 1 \) : \( 10000000 + 1 = 10000001 \).
Résultat : \( 10000001_2 \).
9. Méthode alternative pour calculer le complément à 2 utilisée en programmation
⚓︎
Étapes pour appliquer cette méthode :
-
Calculez \( 2^n \) (la valeur correspondant à la plage maximale pour \( n \) bits).
-
Soustrayez la valeur absolue du nombre négatif (\( |N| \)).
-
Convertissez le résultat en binaire.
-
Ajoutez le bit de signe \( 1 \) à gauche pour indiquer un nombre négatif.
Exemple : Calculer \(-88_{10}\) en binaire signé sur 8 bits⚓︎
-
Calculez \( 2^8 = 256 \).
-
Soustrayez \( |88| \) : 256 - 88 = 168
-
Convertissez \( 168 \) en binaire sur 8 bits : \( 168_{10} \) = \( 10101000_2 \)
-
Ajoutez le bit de signe \( 1 \) pour indiquer que le nombre est négatif :\( 10101000_2\)
10. Structure de la norme IEEE 754
⚓︎
| Signe (1 bit) | Exposant biaisé (8 bits) | Mantisse (23 bits) |
|---|---|---|
Le nombre est décomposé en :
-
Signe (\( S \)) : \( S = 0 \) pour un nombre positif, \( S = 1 \) pour un nombre négatif.
-
Exposant biaisé (\( E_{\text{binaire}} \)) : \( E_{\text{binaire}} = E_{\text{réel}} + 127 \), où \( E_{\text{réel}} \) est l'exposant de la puissance de 2 dans la forme normalisée.
-
Mantisse (\( M \)) : Partie fractionnaire du nombre normalisé (\( 1.\text{fractionnaire} \)).
11. Conversion de \(-12.0125\) en IEEE 754
⚓︎
Étape 1 : Déterminer le signe (\( S \))⚓︎
Le nombre est négatif, donc : S = 1
Étape 2 : Convertir la valeur absolue en binaire⚓︎
1. Séparer la partie entière et fractionnaire⚓︎
Pour \( |12.0125| \) :
-
Partie entière : \( 12 \),
-
Partie fractionnaire : \( 0.0125 \).
2. Convertir la partie entière (\( 12 \)) en binaire⚓︎
\(12_{10} = 1100_2 \)
3. Convertir la partie fractionnaire (\( 0.0125 \)) en binaire⚓︎
Pour convertir la partie fractionnaire, multipliez successivement par \( 2 \) :
-
\( 0.0125 * 2 = 0.025 \quad (\text{retenir } 0) \),
-
\( 0.025 * 2 = 0.05 \quad (\text{retenir } 0) \),
-
\( 0.05 * 2 = 0.1 \quad (\text{retenir } 0) \),
-
\( 0.1 * 2 = 0.2 \quad (\text{retenir } 0) \),
-
\( 0.2 * 2 = 0.4 \quad (\text{retenir } 0) \),
-
\( 0.4 * 2 = 0.8 \quad (\text{retenir } 0) \),
-
\( 0.8 * 2 = 1.6 \quad (\text{retenir } 1) \),
-
\( 0.6 * 2 = 1.2 \quad (\text{retenir } 1) \),
-
\( 0.2 * 2 = 0.4 \quad (\text{retenir } 0) \).
on voit que la partie fractionnaire devient cyclique
Fractionnaire approximatif : \(0.0125_{10} \approx 0.000000110_2 \)
4. Combiner partie entière et fractionnaire⚓︎
\( 12.0125_{10} \approx 1100.000000110_2\)
Étape 3 : Normaliser le nombre binaire⚓︎
Pour normaliser, placez la virgule après le premier \( 1 \) : \( 1100.000000110_2 = 1.100000000110_2 * 2^3 \)
-
Mantisse : \( 1.100000000110_2 \),
-
Exposant réel (\( E_{\text{réel}} \)) : \( 3 \).
Étape 4 : Calculer l'exposant biaisé⚓︎
L’exposant biaisé est : \( E_{\text{binaire}} = E_{\text{réel}} + 127 = 3 + 127 = 130 \)
En binaire (\( 8 \) bits) : \( E_{\text{binaire}} = 10000010_2 \)
Étape 5 : Déterminer la mantisse⚓︎
La mantisse correspond à la partie fractionnaire après le \( 1.\) :
\( M = 10000000011000000000000 \) (Remplissez avec des zéros jusqu’à atteindre 23 bits.)
Étape 6 : Construire le format IEEE 754⚓︎
Assemblez les trois composantes :
-
Signe (\( S \)) : \( 1 \),
-
Exposant biaisé (\( E \)) : \( 10000010 \),
-
Mantisse (\( M \)) : \( 10000000011001100110011 \).
Résultat final (32 bits) : \( \text{IEEE 754} = 1\ 10000010\ 10000000011001100110011 \)